نمیدونم از چه فرمول و قواعد ریاضی باید استفاده کرد تا سریع به جواب رسید اما من از روش مفهومی استفاده میکنم. فقط بدیش اینه که برای مسائل مشابه دیگه با اعداد و ارقام بزرگتر روش حلش خیلی طولانی میشه.

خب اول میریم سراغ گروه 2تایی. 12تا عضو دارم فرض میکنیم هر کدوم یک مهره تو دستم هستن که هر کدوم رو با یک حرف انگلیسی روشون متمایز کردم. اول a رو قرار میدم. میمونه عضو دوم. از 11تایی که برام باقی مونده 11 حالت مختلف میتونم قرار بدم پس:

a×11

یعنی تعداد حالات تا اینجا میشه 11 حالت (خود a یک حالته). میرم سراغ دوتایی بعدی. 10 تا مهره تو دستم باقی مونده یکی قرار میدم (فرض میکنیم مهره b). میمونه 9 تا دیگه. پس برای عضو دوم این گروه 9 حالت میتونم قرار بدم:

b×9

تو دستم حالا 8 تا مهره مونده. همینطور ادامه میدم:

c×7
d×5
e×3
f×1

حالا جواب همه رو با هم جمع میکنم:

11+9+7+5+3+1=36

یعنی 36 حالت مختلف میتونستم گروه بندیی دوتایی انجام بدم. میریم سراغ گروه بندی 4تایی. به همین شکل ادامه میدم. یه مهره میذارم. میمونه مهره دوم. 11 حالت میتونم قرار بدم:

a×11×O×O

بعنوان مهره سوم میتونم 10 حالت قرار بدم:

a×11×10×O

و جای آخرین عضو گروه اول میتونم 9 حالت قرار بدم:

a×11×10×9

این شد گروه اول 4تایی. میریم سراغ گروه دوم 4تایی. 4تا که تو گروه اول گذاشتم پس الان 8 تا مهره واسم مونده. مهره اول رو میذارم (فرض میکنیم b). حالا 7 تا واسم میمونه که میتونم جای مهره دوم بذارم:

b×7×O×O

برای عضو سوم 6تا واسم مونده:

b×7×6×O

و برای آخرین عضو 5تا:

b×7×6×5

اینم شد گروه دوم 4تایی. گروه سوم هم به همین شکل با 4تا مهره باقی مونده ادامه میدم:

c×3×2×1

حالا جواب سه گروه رو با هم جمع میکنم:

990+210+6=1206

حالا میریم سراغ آخرین گروه بندی یعنی 6 تایی. دیگه توضیح نمیدم و مثل موارد قبلی ادامه میدم:

a×11×10×9×8×7
b×5×4×3×2×1

جواب های این گروه رو هم جمع میکنم:

55440+120=55560

حالا نتیجه سه گروه بندی رو با هم جمع میکنم:

36+1206+55560=56802

در نتیجه 56802 حالت گروه بندی مختلف میشه انجام داد. البته توجه داشته باش که من در حلم گروه ab رو با گروه ba یکسان فرض کردم (چون در متن سوال چیزی در مورد جایگاه اعضا گفته نشده بود).